Giả định, một hòn đảo biệt lập mà loài săn mồi sinh sống trên đó chỉ có một nguồn thức ăn duy nhất là hươu là con mồi. Cuộc sống tiếp diễn binh thường cho đến khi số lượng quần thể hươu nai thay đổi. Đặt x(t) là quần thể hươu tại thời điểm t và y(t) là số lượng kẻ săn mồi. Giả sử rằng loài hươu khi không bị tác động ngẫu nhiêu phát triển theo một hàm mũ và, tỷ lệ chết đói của quần thể thú săn mồi lớn hơn tỷ lệ sinh nên vì vậy, nó giảm dần cũng theo một hàm mũ. Số lượng hươu bị bắt ăn thịt sẽ phụ thuộc vào tần số chạm trán với mãnh thủ. Nếu ta giả sử rằng, nếu sự gặp gỡ xảy ra, có một xác suất cố định rằng mãnh thú sẽ bắt được một con hươu và thời gian để ăn con hươu đó không đáng kể.

Ta có được công thức của phương trình như sau:

Trong đó:

• x là số lượng của con mồi (ví dụ như: hươu);
• y là số lượng của động vật săn mồi (ví dụ như: hổ);
• d y d t {\displaystyle {\tfrac {dy}{dt}}} và d x d t {\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}} là chỉ số phát triển về dân số của hai loài trong một khoảng thời gian;
• t đại diện cho thời gian; và
• α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } và δ {\displaystyle \delta } là hằng số dương mô tả dân số hai loài.

Về con mồi, công thức như sau:

d x d t = α x − β x y   . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha x-\beta xy~.}

Về kẻ săn mồi, công thức như sau:

d y d t = δ x y − γ y   . {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\delta xy-\gamma y~.}

Từ phương trình này đi đến nhận định là: Dân số của loài săn mồi và con mồi cùng biến đổi một cách tuần hoàn theo một chu kỳ và khi dân số của con mồi tăng lên thì có giai đoạn tăng rất nhanh. Giả sử có hai loài vật, loài săn mồi, và loài bị săn. Thức ăn cho loài bị săn thì thừa thãi, nên dân số của con mồi (ký hiệu x), sẽ có xu hướng tăng lên, theo tốc độ tăng trưởng là hằng số a, nếu như chúng không bị săn bắt. Ngược lại, dânsố của loài săn mồi (ký hiệu y) sẽ có xu hướng giảm đi theo tốc độ giảm là hằng số b nếu như không bắt được loài kia làm mồi. Khi có mồi thì dân số của loài săn mồi tăng lên, với tốc độ tỷ lệ thuận với số mồi, còn ngược lại dân số của loài bị săn lại giảm đi với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của loài đi săn.

Mối tương quan trực tiếp giữa con mồi và kẻ săn mồi còn thể hiện qua biểu đồ sau:

Biến thiên dân số

Hệ này cho thấy tâm điểm là một điểm yên ngựa hay hinh sin.

x ( α − β y ) = 0 {\displaystyle x(\alpha -\beta y)=0\,} − y ( γ − δ x ) = 0 {\displaystyle -y(\gamma -\delta x)=0\,}

Giả sử x và y nằm giữa khu vực cân bằng

{ y = 0 , x = 0 } {\displaystyle \left\{y=0,x=0\right\}\,}

Và

{ y = α β , x = γ δ } , {\displaystyle \left\{y={\frac {\alpha }{\beta }},x={\frac {\gamma }{\delta }}\right\},\,}

Như thế là cả hai đều cân bằng.

Biến thiên dân số

Hệ trên cũng cho thấy điểm uốn nằm tại tâm. Công thức:

J ( x , y ) = [ α − β y − β x δ y δ x − γ ] . {\displaystyle J(x,y)={\begin{bmatrix}\alpha -\beta y&-\beta x\\\delta y&\delta x-\gamma \end{bmatrix}}.}

Bởi vì một quỹ đạo điển hình là một đường cong đóng, x và y phải biến động theo thời gian tại từng thời điểm, trừ khi hoặc x hoặc y có giá trị đầu là 0. Giá trị cực đại (cực tiểu) của y xảy ra sau ¼ thời điểm sau khi x đạt cực đại (cực tiểu). Nghĩa là khi quần thể thú săn đạt giá trị tối đa, quần thể hươu sẽ giảm dần và điều này sẽ dẫn đến một sự giảm đột ngột trong dân số. Số lượng kẻ săn mồi giảm đi cho phép quần thể hươu có thể phát triển trở lại, dẫn đến quần thể thú ăn thịt sẽ tăng lên và chu kỳ cứ thế lặp lại. Những mức độ thực sự của sự tăng giảm này phụ thuộc vào những quỹ đạo nào được vạch ra. Môi trường thay đổi có thể chuyển hệ sinh thái từ một quỹ đạo sang một quỹ đạo khác nhưng độ dao động tại từng thời điểm sẽ tiếp tục và không có khuynh hướng trở về một trạng thái cân bằng.